Question

已知定點A（-2，0），動點B是圓F：（x-2）²+y²=64（F為圓心）上一點，線段AB的垂直平分線交BF于P．
（I）求動點P的軌跡方程；
（II）是否存在過點E（0，-4）的直線l交P點的軌跡于點R，T，且滿足（O為原點）．若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意得|PA|=|PB|且|PB|+|PF|=r=8．故|PA|+|PF|=8＞|AF|=4∴P點軌跡為以A、F為焦點的橢圓，從而動點P的軌跡方程；
（II）假設存在滿足題意的直線L，設直線L的斜率為k，R（x₁，y₁），T（x₂，y₂）．∵，∴．從而求得直線方程．
解答：解：（I）由題意得|PA|=|PB|且|PB|+|PF|=r=8．故|PA|+|PF|=8＞|AF|=4
∴P點軌跡為以A、F為焦點的橢圓．
設橢圓方程為
∴．
（II）假設存在滿足題意的直線L．易知當直線的斜率不存在時，不滿足題意．
故設直線L的斜率為k，R（x₁，y₁），T（x₂，y₂）．
∵，∴．
．．…①．
∴．
∴y₁•y₂=（kx₁-4）（kx₂-4）=k²x₁x₂-4k（x₁+x₂）+16，
．解得k²=1．…②．
由①、②解得k=±1．
∴直線l的方程為y=±x-4．
故存在直線l：，x+y+4=0或x-y-4=0，滿足題意．
點評：本題考查橢圓定義的運用及待定系數法求橢圓方程；（II）關鍵是將條件等價變形，同時應注意分類討論．