Question

5．若關于x的方程$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$=mx+m-1有兩個不同的實數根，則實數m的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{3}{4}$）
• B． [$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）
• C． （$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）
• D． [$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$）

Answer 1

分析 構造函數g（x）=mx+m-1，f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$，在同一坐標系中作出二函數的圖象，數形結合即可求得實數m的取值范圍．

解答 解：令g（x）=mx+m-1，f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$，
∵方程mx+3m=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$有兩個不同的實數解，
∴g（x）=mx+m-1與f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$有兩個不同的交點，
在同一坐標系中作圖如下：

∵g（x）=mx+m-1為過定點（-1，-1）的直線，
當直線g（x）=mx+m-1經過（1，0），即m=$\frac{1}{2}$時，
顯然g（x）=mx+m-1與f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$有兩個不同的交點；
當直線g（x）=mx+m-1與曲線f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$相切時，
$\frac{|2m+m-1|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}=1$，解得m=$\frac{3}{4}$或m=0（舍），
∴m∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），
故選：B

點評 本題考查根的存在性及根的個數判斷，考查等價轉化思想與數形結合思想的綜合應用，屬于中檔題