Question

（理）已知函數g（x）=1-cos（

π

2

x+2ψ）（0＜ψ＜

π

2

）的圖象過點（1，2），若有4個不同的正數x_i 滿足g（x_i）=M，且x_i＜8（i=1，2，3，4），則x₁+x₂+x₃+x₄等于（　　）

A．12

B．20

C．12或20

D．無法確定

Answer 1

分析：先由g（x）過點（1，2），求得φ，進而求得函數g（x），再由g（x）=M 在兩個周期之內有四個解，則在在一個周期內必有兩個解，表示出四個解來相加可得．

解答：解：因為：函數g（x）=1-cos（

π

2

x+2ψ）（0＜ψ＜

π

2

）的圖象過點（1，2），
∴1-cos（

π

2

+2φ）=2，
∴sin2φ=1，
∴φ=

π

4

∴g（x）=1-cos（

π

2

x-

π

2

）=1-sin

π

2

x．
∵g（x）=M 在兩個周期之內竟然有四個解，
∴sin

π

2

x=1-M在一個周期內有兩個解
當1-M＞0時，四個根中其中兩個關于x=11對稱，另兩個關于x=5對稱，故其和為2×1+5×2=12．
 當1-M＜0時，四個根中其中兩個關于x=3對稱，另兩個關于x=7對稱，故其和為2×3+7×2=20．
綜上得：x₁+x₂+x₃+x₄=12或20．
故選C．

點評：本題主要考查三角函數的周期性及三角方程有多解的特性，但都有相應的規律，與周期有關．