Question

如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，P為BC邊的中點，SB與平面ABCD所成的角為45°，且AD=2，SA=1．

（1）求證：平面SAP;

（2）求二面角A－SD－P的大小.

Answer 1

(2)

解析:

證明：（1）因為底面，

所以，∠SBA是SB與平面ABCD所成的角…………………….……….1分

由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1

易求得，AP=PD=，…………………………………….…..………….2分

又因為AD=2，所以AD²=AP²+PD²，所以．………….…….3分

因為SA⊥底面ABCD,平面ABCD,

所以SA⊥PD,                …………….……………………….…....4分

由于SA∩AP=A     所以平面SAP． …………………………….5分

（2）設Q為AD的中點,連結PQ,       ……………………………….………6分

由于SA⊥底面ABCD,且SA平面SAD,則平面SAD⊥平面PAD……..7分

因為PQ⊥AD,所以PQ⊥平面SAD

過Q作QR⊥SD,垂足為R,連結PR,

由三垂線定理可知PR⊥SD,

所以∠PRQ是二面角A－SD－P的平面角. …9分

容易證明△DRQ∽△DAS,則

因為DQ=1，SA=1，，所以….……….10分

在Rt△PRQ中，因為PQ=AB=1，所以………11分

所以二面角A－SD－P的大小為．……………….…….…….12分

或：過A在平面SAP內作,且垂足為H,在平面SAD內作,且垂足為E,連接HE，平面SAP。平面SDP…………7分

∴HE為AE在平面SPD內的射影，∴由三垂線定理得

從而是二面角A－SD－P的平面角……………………………….9分

在中,，在中,，

.        ………………………………….11分

即二面角的大小為……………………………12分