Question

設函數f（x）=|x|x+bx+c，則下列命題中正確命題的序號有

 

（請將你認為正確命題的序號都填上）
①當b＞0時，函數f（x）在R上是單調增函數；
②當b＜0時，函數f（x）在R上有最小值；
③函數f（x）的圖象關于點（0，c）對稱；
④方程f（x）=0可能有三個實數根．

Answer 1

分析：①當b＞0時，把函數f（x）=|x|x+bx+c分x≥0和x＜0兩種情況討論，轉化為二次函數求單調性；
②當b＜0時，函數f（x）在R上有最小值，可以根據函數的對稱性加以判斷；
③函數f（x）的圖象關于點（0，c）對稱，可以根據函數圖象的平移解決；
④方程f（x）=0可能有三個實數根，對b，c去特殊值．

解答：解：①當b＞0時，f（x）=|x|x+bx+c=

x2+bx+c  ，x≥0 -x2+bx+c，x＜0

，知函數f（x）在R上是單調增函數；
②當b＜0時，f（x）=|x|x+bx+c=

x2+bx+c  ，x≥0 -x2+bx+c，x＜0

值域是R，故函數f（x）在R上沒有最小值；
③若f（x）=|x|x+bx那么函數f（x）是奇函數（f（-x）=-f（x）），也就是說函數f（x）的圖象關于（0，0）對稱．而函數f（x）=|x|x+bx+c的圖象是由函數f（x）=|x|x+bx的圖象沿Y軸移動，故圖象一定是關于（0，c）對稱的．
④令b=-2，c=0，則f（x）=|x|x-2x=0，解得x=0，2，-2．所以正確．
故答案為：①③④．

點評：此題考查了分段函數的單調性、對稱性和最值問題，對于含有絕對值的一類問題，通常采取去絕對值的方法解決，體現了分類討論的數學思想；函數的對稱性問題一般轉化為函數的奇偶性加以分析，再根據函數圖象的平移解決，體現了轉化、運動的數學思想；對于存在性的命題研究，一般通過特殊值法來解決．是好題，屬中檔題．