Question

函數f（x）=x²-2x+2在閉區間[a，a+1]（a∈R）的最大值記為g（a）．
（1）試寫出g（a）的函數表達式；
（2）若g（a）≥5，求出a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=（x-1）²+1．
①當a+1≤1，即a≤0時，g（a）=a²-2a+2；
②當，即時，g（a）=a²-2a+2；
③當時，即時，g（a）=a²+1；
④當a＞1時，g（a）=a²+1．
綜上：…（6分）
（2）當a²-2a+2≥5，解得a≥3或a≤-1，
∵，∴a≤-1；
當a²+1≥5，解得a≥2或a≤-2，
∵，∴a≥2．
綜上：a的取值范圍是a≤-1或a≥2． …（12分）
分析：（1）配方可得f（x）=（x-1）²+1，確定對稱軸與區間的位置關系，分類討論，即可求得g（a）的函數表達式；
（2）由（1）的分段函數，結合變量的范圍，即可求得a的取值范圍．
點評：本題考查利用配方法求函數的最值，考查分段函數，考查解不等式，利用對稱軸與區間的位置關系，分類討論是解題的關鍵．