Question

已知z=2-i，求z⁶-3z⁵+z⁴+5z³+2的值．

Answer 1

解：∵z=2-i，∴（z-2）²=（-i）²=-1
即z²-4z+5=0，
∴z⁶-3z⁵+z⁴+5z³+2=（z²-4z+5）（z⁴+z³）+2=2．
分析：如果直接代入，顯然比較困難，將z用三角式表示也有一定的難度．從整體角度思考，可將條件轉化為（z-2）²=（-i）²=-1，即z²-4z+4=-1，即z²-4z+5=0，再將結論轉化為z⁶-3z⁵+z⁴+5z³+2=（z²-4z+5）（z⁴+z³）+2，然后代入就不困難了．
點評：本題考查復數代數形式的混合運算，結合題意轉化條件，z⁶-3z⁵+z⁴+5z³+2轉化為（z²-4z+5）（z⁴+z³）+2，是本題解題的關鍵，也是簡化解題觀察的根本，仔細分析題意，確定解題方向比直接上手解答好得多．