Question

已知函數f（x）=x²+lnx-ax．
（1）若f（x）在（0，1）上是增函數，求a得取值范圍；
（2）在（1）的結論下，設g（x）=e^2x+|e^x-a|，x∈[0，ln3]，求函數g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）本題知道了函數在（0，1）上是增函數，求a范圍，可以轉化為f'（x）＞0在（0，1）上恒成立，由此求解參數范圍即可；
（2）本題先用換元法將復合函數變成關于變量的分段二次函數，然后在兩段時分別研究，求出每一段上的最小值，再取兩者中的較小者即可．

解答：解：（1）f'（x）=2x+

1

x

-a，（1分）
∵f（x）在（0，1）上是增函數，
∴2x+

1

x

-a＞0在（0，1）上恒成立，即a＜2x+

1

x

恒成立．
∵2x+

1

x

≥2

2

（當且僅當x=

2

2

時取等號），所以a＜2

2

．（4分）
當a=2

2

時，易知f（x）在（0，1）上也是增函數，所以a≤2

2

．（5分）
（2）設t=e^x，則h（t）=t²+|t-a|，
∵x∈[0，ln3]，∴t∈[1，3]．（7分）
當a≤1時，h（t）=t²+t-a，在區間[1，3]上是增函數，所以h（t）的最小值為h（1）=2-a．（9分）
當1＜a≤2

2

時，h（t）=

t2-t+a    1≤t＜a t2+t-a    a≤t≤3

．
因為函數h（t）在區間[a，3]上是增函數，在區間[1，a]上也是增函數，所以h（t）在[1，3]上為增函數，
所以h（t）的最小值為h（1）=a．（14分）
所以，當a≤1時，g（x）的最小值為2-a；當1＜a≤2

2

時，g（x）的最小值為a．（15分）

點評：本題的考點是函數的最值及其幾何意義，考查了函數單調性與導數的關系，考查了不等式恒成立求參數問題的轉化方向，利用單調性求函數的最小值．涉及到的知識點較多，綜合性強．