Question

【題目】如圖甲，E是邊長(zhǎng)等于2的正方形的邊CD的中點(diǎn)，以AE、BE為折痕將△ADE與△BCE折起，使D，C重合(仍記為D)，如圖乙.

（1）探索:折疊形成的幾何體中直線DE的幾何性質(zhì)(寫出一條即可，不含DE⊥DA，DE⊥DB，說明理由)；

（2）求二面角D-BE-A的余弦值

Answer 1

【答案】（1）幾何性質(zhì)見解析，理由見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)折前折后折痕同側(cè)的位置關(guān)系、長(zhǎng)度不變，可以證明平面，據(jù)此結(jié)論也可得到，或與平面內(nèi)任一直線都垂直，也可計(jì)算直線與平面所成角等于；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求二面角的余弦值.

（1）性質(zhì)1：平面.

證明如下：翻折前，，

翻折后仍然，

且，

則平面.

性質(zhì)2：.

證明如下：

與性質(zhì)1證明方法相同，得到平面.

又因平面，則.

性質(zhì)3：與平面內(nèi)任一直線都垂直.

證明如下：

與性質(zhì)1證明方法相同，得到平面，

從而與平面內(nèi)任一直線都垂直.

性質(zhì)4：直線與平面所成角等于.

證明如下：

如圖，取的中點(diǎn)，連接，，

由得，

與性質(zhì)2證明相同，得，

再因，則平面，進(jìn)而平面平面.

作于，則平面，

即就是直線與平面所成的角.

，，，.

（2）與（1）之性質(zhì)4證明相同，得到，平面，，平面內(nèi)，則平面平面.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)、為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

，
，，則平面的一個(gè)法向量，

，，，.

設(shè)是平面的法向量，

則

取，求得一個(gè)法向量

記二面角的大小為，則與相等或互補(bǔ)，

，

因是銳角，則.