Question

集合M是具有以下性質的函數f（x）的全體：對任意的s＞0，t＞0，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t）．
（1）試判斷函數f₁（x）=log₂（x+1），f₂（x）=2^x-1是否屬于M；
（2）證明：對任意的x＞0，x+m＞0（m∈R，m≠0），m[f（x+m）-f（x）]＞0；
（3）證明：對于任意給定的正數ε＞0，總存在正數δ＞0，當x∈（0，δ]時，f（x）＜ε．

Answer 1

解：（1）對于函數f₁（x）=log₂（x+1），f₁（s）+f₁（t）=log₂（s+1）+log₂（t+1）=log₂（s+1）（t+1）=log₂（st+s+t+1）＞f₁（s+t），故函數f₁（x）=log₂（x+1）不屬于M；
對于函數f₂（x）=2^x-1，f₂（s）+f₂（t）-f₂（s+t）=2^s-1+2^t-1-2^s+t+1=（2^s-1）（1-2^t），
∵s＞0，t＞0，∴f₂（s）+f₂（t）-f₂（s+t）＜0，故函數f₂（x）=2^x-1屬于M；
（2）證明：令x+m=s，x=t，則s＞0，t＞0，不妨設s＞t＞0，則有f（s）-f（t）＞f（s-t）＞0．從而有（s-t）[f（s）-f（t）]＞0，故結論成立；
（3）由（2）知，函數為單調增函數，所以有總存在正數δ＞0，當x∈（0，δ]時，f（x）≤f（δ）＜ε．
分析：（1）對于函數f₁（x）=log₂（x+1），直接代入驗證，對于函數f₂（x）=2^x-1，通過f₂（s）+f₂（t）-f₂（s+t）驗證；（2）令x+m=s，x=t，則s＞0，t＞0，不妨設s＞t＞0，則有f（s）-f（t）＞f（s-t）＞0，從而結論成立；
（3）利用（2）的結論：函數為單調增函數，即可證得．
點評：本題考查新定義，求解的關鍵是，認識新定義反映出的本質，充分利用好所給的性質，屬于中檔題．