Question

已知|

a

|=4，|

b

|=3，（2

a

-3

b

）•(2

a

+

b

)=61，
求：（1）向量

a

與

b

的夾角θ；
（2）|

a

-

b

|

Answer 1

分析：（1）由已知中|

a

|=4，|

b

|=3，（2

a

-3

b

）•(2

a

+

b

)=61，我們可以求出

a

•

b

的值，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的夾角公式，求出cos＜

a

，

b

＞，進(jìn)而得到向量

a

與

b

的夾角θ；
（2）要求|

a

-

b

|，我們可以根據(jù)（1）中結(jié)論，先求出|

a

-

b

|²的值，然后開(kāi)方求出答案．

解答：解：（1）∵|

a

|=4，|

b

|=3，
∵（2

a

-3

b

）•(2

a

+

b

)=4|

a

|²-3|

b

|²-4

a

•

b

=37-4

a

•

b

=61
∴

a

•

b

=|

a

|•|

b

|•cos＜

a

，

b

＞=-6
∴cos＜

a

，

b

＞=-

1

2

∴＜

a

，

b

＞=120°
∵向量

a

與

b

的夾角θ=120°…（8分）
（2）∵|

a

-

b

|²=|

a

|²+|

b

|²-2

a

•

b

=16+9+12=37
∴|

a

-

b

|=

37

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，向量的模，其中熟練掌握向量夾角數(shù)量積公式，及其變形公式（向量夾角公式）是解答本題的關(guān)鍵．