Question

已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF₁|=4|PF₂|，則此雙曲線的離心率e的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=3|PF₂|=2a，再根據(jù)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，可得|PF₂|≥c-a，從而求得此雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答：解：∵|PF₁|=4|PF₂|，
∴由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=3|PF₂|=2a，
∴|PF₂|=

2a

3

，
∵點(diǎn)P在雙曲線的右支上，
∴|PF₂|≥c-a，
∴

2a

3

≥c-a，
∴e=

c

a

≤

5

3

，
∵e＞1，
∴1＜e≤

5

3

，
∴雙曲線的離心率e的取值范圍為（1，

5

3

]．
故答案為：（1，

5

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．