Question

【題目】已知頂點為原點的拋物線C的焦點與橢圓的上焦點重合，且過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若拋物線上不同兩點A，B作拋物線的切線，兩切線的斜率，若記AB的中點的橫坐標為m，AB的弦長，并求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由已知設拋物線方程為：，求出拋物線方程，從而可求出拋物線的焦點，進而求出橢圓的標準方程.

（2）設，求出A，B兩點切線的斜率，根據可得

，由A，B兩點直線的斜率從而可求出，再由弦長公式即可求解.

（1）由題意可知，設拋物線方程為：

點在拋物線C上，

所以拋物線C的方程為，

所以橢圓的上焦點為，

所以橢圓的標準方程為；

（2）設，

在A點處的切線的斜率，

在B點處的切線的斜率，

又，所以

，

而

，

所以，

又，所以.