Question

已知數(shù)列{a_n}是公差為正的等差數(shù)列，其前n和為S_n，點（n，S_n）在拋物線y=

3

2

x2+

1

2

x上；各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}滿足b1b3=

1

16

，b5=

1

32

．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=2a_n-b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）依題意，S_n=

3

2

n²+

1

2

n，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求得{a_n}的通項公式，由b₁b₃=

1

16

，b₅=

1

32

可求得{b_n}的通項公式；
（2）c_n=2a_n-b_n，利用分組求和的方法即可求得數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）∵點（n，S_n）在拋物線y=

3

2

x²+

1

2

x上，
∴S_n=

3

2

n²+

1

2

n，
∴當(dāng)n=1時，a₁=2；
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

3

2

n²+

1

2

n-[

3

2

（n-1）²+

1

2

（n-1）]=3n-1；
當(dāng)n=1時，也適合上式，
∴a_n=3n-1；
∵{b_n}為各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且b₁b₃=b22=

1

16

，b₅=b₂•q³=

1

32

，
∴b₂=

1

4

，公比q=

1

2

，
∴b_n=b₂•q^n-2=

1

4

×(

1

2

)n-2=(

1

2

)n．
（2）∵c_n=2a_n-b_n=2（3n-1）-(

1

2

)n，
∴其前n項和T_n=c₁+c₂+…+c_n
=[（6×1-2）+（6×2-2）+…+（6n-2）]-[

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n]
=

(6+6n)×n

2

-2n-

1 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=3n²+n-1+(

1

2

)n．

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，著重考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的分組求和與公式法求和，屬于中檔題．