Question

函數f（x）=x²+ax+3．
（1）當x∈R時，f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍．
（2）當x∈[-2，2]時，f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）對一切實數x恒成立，轉化為二次函數恒為非負，利用根的判別式小于等于0即可．
（2）對于[-2，2]區間內的任意x恒成立，同樣考慮二次函數，不過須分三種情況討論（如圖所示）：一種是對稱軸在區間上；另外兩情況是種是區間在對稱軸的左或右，最后結合圖象即可解決問題．
解答：解：（1）∵x∈R時，有x²+ax+3-a≥0恒成立，
須△=a²-4（3-a）≤0，即a²+4a-12≤0，所以-6≤a≤2．
（2）當x∈[-2，2]時，設g（x）=x²+ax+3-a≥0，
分如下三種情況討論（如圖所示）：
①如圖（1），當g（x）的圖象恒在x軸上方時，滿足條件時，有△=a²-4（3-a）≤0，即-6≤a≤2．
②如圖（2），g（x）的圖象與x軸有交點，
但在x∈[-2，+∞）時，g（x）≥0，即即?解之得a∈Φ．
③如圖（3），g（x）的圖象與x軸有交點，
但在x∈（-∞，2]時，g（x）≥0，即即??-7≤a≤-6
綜合①②③得a∈[-7，2]．
點評：本題主要了一元二次不等式恒成立的問題，注意（1）、（2）兩問的不同點，都是利用了二次函數圖象的特點數形結合解決問題的．