Question

如圖，已知圓，經過橢圓的右焦點F及上頂點B，過圓外一點傾斜角為的直線交橢圓于C，D兩點，

（1）求橢圓的方程；

（2）若右焦點F在以線段CD為直徑的圓E的外部，求m的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）因為右焦點和上頂點在圓上，代入圓的方程，得，，進而求得，從而確定橢圓的方程；（1）涉及直線和圓錐曲線的位置關系問題，往往會用到結合根與系數的關系，利用“設而不求”的技巧，確定參數的值或范圍．該題中，設直線的方程，并和橢圓方程聯立，得關于的一元二次方程，并注意隱函條件，設交點，，構造向量，由題意得，，得關于的不等式，解不等式即得參數的取值范圍.

試題解析：（1）∵圓G：經過點F、B．∴F（2，0），B（0，），∴，．∴．故橢圓的方程為．

（2）設直線的方程為．

由消去得．

設，，則，， 7分

∴．

∵，，

∴==．

∵點F在圓G的外部，∴，

即，解得或．由△=，解得．又，，∴．

考點：1、橢圓的標準方程；2、直線和橢圓的位置關系；3、點和圓的位置關系.