Question

已知f（x）=ln（

ex-e-x

2

），則下列正確的是（　　）

• A、非奇非偶函數，在（0，+∞）上為增函數
• B、奇函數，在R上為增函數
• C、非奇非偶函數，在（0，+∞）上為減函數
• D、偶函數，在R上為減函數

Answer 1

分析：根據

ex-e-x

2

＞0求出函數的定義域，判斷出函數是非奇非偶函數；再由作差法比較真數的大小，利用定義和對數函數的單調性判斷出函數的單調性．

解答：解：要使f（x）有意義，則

ex-e-x

2

＞0，
即e^x-e^-x＞0，解得x＞0，則f（x）為非奇非偶函數．
設g（x）=

ex-e-x

2

，
又∵x₁＞x₂＞0時，ex₁＞ex₂，e-x₂＞e-x₁，
g（x₁）-g（x₂）=

1

2

（ex₁-ex₂）+

1

2

（e-x₂-ex₁）＞0，
∴g（x₁）＞g（x₂），
即ln（

ex1-e-x1

2

）＞ln（

ex2-e-x2

2

），f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數．
故選A．

點評：本題考查了對數型復合函數的性質，判斷函數奇偶性應先求定義域，即判斷定義域是否關于原點對稱，對于對數比較大小，一般是先比較真數的大小，再根據對數函數的單調性和單調性的定義判斷．