Question

【題目】如圖所示，在直角梯形中，，，，，，兩點分別在線段，上運動，且.將三角形沿折起，使點到達的位置，且平面平面.

（1）判斷直線與平面的位置關系并證明；

（2）證明：的長度最短時，，分別為和的中點；

（3）當的長度最短時，求平面與平面所成角（銳角）的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）與平面平行，證明詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

(1)分別在平面D1AE和平面BCE內，作MG//AE,交D1E于點G, NH//BC,交CE于點H,連接GH,則MG//NH.推導出四邊形MNHG是平行四邊形, 從而MN// GH.由此能求出MN與平面D1 CE平行；

(2) 推導出,從而當時，, 此時M，N分別是A D1和BE的中點；

（3）以E為坐標原點，分別以EA, EC, ED，所在直線為x, y, z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出平面D1MN與平面EMN所成角(銳角)的余弦值.

（1）與平面平行.

證明如下：分別在平面和平面內作交于點，

交于點，

連接,

∵，

∴.

設，

在中，，

則，

∴，

同理可求，

∴，

即四邊形是平行四邊形.

∴.

∵，，

∴平面.

（2）證明：∵平面平面，，

∴，

在中，，，

∴.

當時，.此時、分別是和的中點.

（2）以為坐標原點，分別以、、所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

由題意知，，，，，，，.

∴，，

∴，，

設是平面的一個法向量，

由可得.取，可得.

設是平面的一個法向量，

由可得.取，可得.

∴，

∴平面與平面所成角（銳角）的余弦值.