Question

已知函數(shù)f（x）=2^x，數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（0），且．
（1）證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求a₂₀₁₀的值；
（2）分別求出滿足下列三個(gè)不等式：，的k的取值范圍，并求出同時(shí)滿足三個(gè)不等式的k的最大值；
（3）若不等式對(duì)一切n∈N^*都成立，猜想k的最大值，并予以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知條件化簡(jiǎn)得a_n+1=a_n+2，知a_n是等差數(shù)列，即a_n=2n-1，從而求得a₂₀₁₀=4019；
（2）先分別求出三個(gè)不等式中k的范圍，當(dāng)k同時(shí)滿足三個(gè)不等式時(shí)，再求k的最大值．
（3）將已知條件變形，化成k≤F（n）恒成立問(wèn)題，要求k的最大值即求F（n）的最小值，利用F（n）與F（n+1）的關(guān)系判斷F（n）關(guān)于n的單調(diào)增函數(shù)，即F（n）的最小值就是F（1）．從而求得k的范圍．
解答：解：（1）由，得f（a_n+1）•f（-2-a_n）=1（n∈N^*），
即，a_n+1=a_n+2，∴a_n是等差數(shù)列，∴a_n=2n-1，∴a₂₀₁₀=4019．（3分）

．∵，∴．（6分）
（3）．，
∴F（n+1）＞F（n），∴．（10分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查等差數(shù)列的定義，及運(yùn)用數(shù)列單調(diào)性來(lái)解決恒成立問(wèn)題．