Question

已知函數f(x)=x3-

1

2

x2+bx+c．
（Ⅰ）若f（x）在（-∞，+∞）上是增函數，求b的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）在x=1時取得極值，且x∈[-1，2]時，f（x）＜c²-c-1恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求出f（x）的導數，令導數大于等于0恒成立，令導函數的判別式大于等于0，求出b的范圍．
（II）據函數在極值點的導數為0，得到x=1是f′（x）=0的一個根，利用韋達定理求出f′（x）=0的另一個根，列出x，f′（x），f（x）的變化情況表，求出函數的最大值，令最大值＜c²-c-1恒成立，解不等式求出c的范圍．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-x+b，
∵f（x）在（-∞，+∞）上是增函數，∴f'（x）≥0恒成立．
∴△=1-12≤0，解得b≥

1

12

．
∴b 的取值范圍為[

1

12

，+∞)．
（Ⅱ）由題意知x=1是方程3x²-x+b=0的一個根，
設另一根為x₀，則

x0+1= 1 3 x0×1= b 3

∴

x0=- 2 3 b=-2

即f'（x）=3x²-x-2．在[-1，2]上f（x）、f'（x）的函數值隨x 的變化情況如下表：

x	-1	(-1，- 2 3 )	- 2 3	(- 2 3 ，1)	1	（1，2）	2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	1 2 +c	遞增	極大值 22 27 +c	遞減	極小值- 3 2 +c	遞增	2+c

∴當x∈[-1，2]時，f（x）的最大值為f（2）=2+c，
∵當x∈[-1，2]時，f（x）＜c²-c-1恒成立，
∴2+c＜c²-c-1⇒c²-2c-3＞0⇒c＜-1或c＞3，
故c的取值范圍為（-∞，-1）∪（3，+∞）．

點評：解決函數的單調性已知求參數的范圍問題，一般令導函數大于等于0恒成立或小于等于0恒成立；解決不等式恒成立常分離參數轉化為求函數的最值．