Question

設A₁、A₂為橢圓的左右頂點，若在橢圓上存在異于A₁、A₂的點P，使得，其中O為坐標原點，則橢圓的離心率e的取值范圍是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：由，可得 y²=ax-x²＞0，故 0＜x＜a，代入=1，整理得（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0 在（0，a ）上有解，令f（x）=（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0，，結合圖形，求出橢圓的離心率e的范圍．
解答：A₁（-a，0），A₂（a，0），設P（x，y），則=（-x，-y），=（a-x，-y），
∵，∴（a-x）（-x）+（-y）（-y）=0，y²=ax-x²＞0，∴0＜x＜a．
代入=1，整理得（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0 在（0，a ）上有解，
令f（x）=（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0，∵f（0）=-a²b²＜0，f（a）=0，如圖：
△=（a³）²-4×（b²-a²）×（-a²b²）=a²（ a⁴-4a²b²+4b⁴ ）=a²（a²-2c²）²≥0，
∴對稱軸滿足 0＜-＜a，即 0＜＜a，∴＜1，
＞，又 0＜＜1，∴＜＜1，故選 D．

點評：本題考查兩個向量坐標形式的運算法則，兩個向量的數量積公式，一元二次方程在一個區間上有實數根的條件，
體現了數形結合的數學思想．