Question

設F₁，F₂分別為橢圓

x2

3

+y²=1的焦點，點A，B在橢圓上，若

F1A

=5

F2B

；則點A的坐標是

 

．

Answer 1

分析：作出直線F₁A的反向延長線與橢圓交于點B'，由橢圓的對稱性，得

F1A

=5

B′F1

，利用橢圓的焦半徑公式及向量共線的坐標表示列出關于x₁，x₂的方程，解之即可得到點A的坐標．

解答：解：方法1：直線F₁A的反向延長線與橢圓交于點B'
又∵

F1A

=5

F2B

由橢圓的對稱性，得

F1A

=5

B′F1

設A（x₁，y₁），B'（x₂，y₂）
由于橢圓

x2

3

+y2=1的a=

3

，b=1，c=

2

∴e=

c

a

=

2

3

=

6

3

，F₁（

2

，0）．
∵|F1A|=

6

3

|x1+

3 2

2

|
|F1B′|=

6

3

|x2+

3 2

2

|
從而有：

6 3 |x1+ 3 2 2 |=5× 6 3 |x2+ 3 2 2 |

由于-

3

≤x₁，x₂≤

3

，
∴x1+

3 2

2

＞0，x2+

3 2

2

＞0，
即

6

3

(

3 2

2

+x1)=5×

6

3

(x2+

3 2

2

)

3 2

2

+x1=5(x2+

3 2

2

)． ①
又∵三點A，F₁，B′共線，

F1A

=5

B′F1

∴（x1-(-

2

)，y₁-0）=5（-

2

-x₂，0-y₂）
∴

x1+ 2 =5(- 2 -x2)

．②
由①+②得：x₁=0．
代入橢圓的方程得：y₁=±1，
∴點A的坐標為（0，1）或（0，-1）
 方法2：因為F₁，F₂分別為橢圓

x2

3

+y2=1的焦點，則F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，設A，B的坐標分別為A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
若

F1A

=5

F2B

；則

xA+ 2 =5(xB- 2 ) yA=5yB

，所以

xB= xA+6 2 5 yB= yA 5

，
因為A，B在橢圓上，所以

xA2 3 +yA2=1 xB2 3 +yB2=1

，代入解得

xA=0 yA=1

或

xA=0 yA=-1

，
故A（0，±1）．
故答案為：（0，±1）．

點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的簡單性質、向量共線等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．