Question

為考察某種要務預防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下丟失數據的列聯表：

藥物效果試驗列聯表：

從沒服用藥的動物中任取兩只，未患病數為ξ；從服用藥物的動物中任取兩只，未患病數為η．工作人員曾計算過P(ξ=0)=

38

9

P(η=0)．
（1）求出列聯表中數據x，y，M，N的值，請根據數據畫出列聯表的等高條形圖，并通過條形圖判斷藥物是否有效
（2）求ξ和η的均值并比較大小，請解+釋所得出結論的實際含義；
（3）能夠以97.5%的把握認為藥物有效嗎？
參考數據：

參考公式：一般地，假設有兩個變量X和Y，它們的可能取值分別為{x₁，x₂}和{y₁，y₂}，其樣
本頻數列聯表為

隨機變量K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

Answer 1

分析：（1）根據已知已知的分布列數據計算出相關的x，y值，并求出對應的M，N值，并填入表格的相應位置．再根據列聯表畫出等高的條形圖，分析圖形易得到結論．
（2）由列聯表中的數據，代入相應的公式，易得到ξ和η的均值，根據從沒服用藥的動物中任取兩只未患病數為ξ；從服用藥物的動物中任取兩只，未患病數為η，易分析出所得結論的實際含義．
（3）根據列聯表，及K²的計算公式，計算出K²的值，并代入臨界值表中進行比較，不難得到答案．

解答：解：（1）∵P（ξ=0）=

C 2 20

C 2 50

，P（η=0）=

C 2 x

C 2 50

∴

C 2 20

C 2 50

=

38

9

×

C 2 x

C 2 50

∴x=10，y=40
∴M=30，N=70
畫出列聯表的等高條形圖如下圖：

由列聯表的等高條形圖可以初步判斷藥物有效
（2）ξ取值為0，1，2
P（ξ=0）=

C 2 20

C 2 50

=

38

245

，
P（ξ=1）=

C 1 20 C 1 30

C 2 50

=

120

245

，
P（ξ=2）=

C 2 30

C 2 50

=

87

245

∴Eξ=

294

245

P（η=0）=

C 2 10

C 2 50

=

9

245

，
P（η=1）=

C 1 10 C 1 40

C 2 50

=

80

245

，
P（η=2）=

C 2 40

C 2 50

=

156

245

∴Eη=

392

245

∴Eξ＜Eη
說明藥物有效
（3）∵K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

=

100(800-300)2

30×70×50×50

≈4.762＜5.024
故沒有97.5%的把握認為藥物有效

點評：獨立性檢驗，就是要把采集樣本的數據，利用公式計算K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

的值，比較與臨界值的大小關系，來判定事件A與B是否無關的問題．具體步驟：（1）采集樣本數據．（2）由K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

計算的K²值．（3）統計推斷，當K²＞3.841時，有95%的把握說事件A與B有關；當K²＞6.635時，有99%的把握說事件A與B有關；當K²≤3.841時，認為事件A與B是無關的．