Question

已知等差數列{a_n}的公差為d，a₃=5，a₅=9，等比數列{b_n}的公比為q，b₁=1，b₄=27，設S_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n，T_n=a₁b₁-a₂b₂+a3b3-…+(-1)n-1anbn（n∈N₊）．
（1）求S₃和T₃的值；
（2）設f（n）=（1-q）S_2n-（1+q）T_2n，求f（n）的表達式．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列和等比數列的通項公式即可得出；
（2）①利用“錯位相減法”即可得出S_n，進而得到S_2n；②利用兩兩結合和錯位相減法即可得出T_2n．進而得到f（n）

解答：解：（1）∵a₅=a₃+2d，a₃=5，a₅=9，∴9=5+2d，解得d=2，∴a_n=a₃+（n-3）d=5+（n-3）×2=2n-1，∴S₃=1×1+3×3+5×9=55；
∵b4=b1q3，b₁=1，b₄=27，∴27=q³，解得q=3，∴bn=3n-1，∴T₃=1×1-3×3+5×3²=37．
（2）①∵S_n=1×1+3×3¹+5×3²+…+（2n-1）•3^n-1，
3S_n=1×3+3×3²+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ，
∴-2S_n=1+2×3+2×3²+…+2×3^n-1-（2n-1）•3ⁿ=1+2×

3×(3n-1-1)

3-1

-（2n-1）•3ⁿ，
得S_n=-

1

2

-

3n-3

2

+

(2n-1)•3n

2

=（n-1）•3ⁿ+1，
∴S_2n=（2n-1）•3²ⁿ+1．
②T_2n=1×1-3×3+5×3²-7×3³+…+（4n-3）•3^2n-2-（4n-1）•3^2n-1
=-8-16×3²-…-8n•3^2n-2
=-8（1×3⁰+2×3²+3×3⁴+…+n•3^2n-2）
=-8•(

32n-1

-16

+

n•32n

8

)
=

32n-1

2

-n•32n．
∴f（n）=（1-3）•[（2n-1）•3²ⁿ+1]-4×(

32n-1

2

-n•32n)=（2-4n）•3²ⁿ+2-4n-2•3²ⁿ+2+4n•3²ⁿ=4

點評：熟練掌握等差數列和等比數列的通項公式、“錯位相減法”、分組兩兩結合等方法是解題的關鍵．