Question

已知曲線C上的任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離比它到直線m：x=-4的距離小3．
（1）求曲線C的方程；
（2）在曲線C上是否存在一點(diǎn)M，它到點(diǎn)F（1，0）與到點(diǎn)A（3，2）的距離之和最��？若存在，請(qǐng)求出最小值及M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，點(diǎn)P到F（1，0）的距離與到直線x=-1的距離相等，由拋物線的定義可得點(diǎn)的軌跡是以F（1，0）為焦點(diǎn)，以x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，從而可求
（2）過M作MF垂直于準(zhǔn)線l：x=-1．垂足為點(diǎn)P，由拋物線的定義可知MP=MF，從而有MA+MF=MA+MF，過點(diǎn)A作垂足于準(zhǔn)線的直線與拋物線相交的點(diǎn)記為M時(shí)，所求的線段和最小

解答：解：（1）由題意可得，點(diǎn)P到F（1，0）的距離與到直線x=-1的距離相等
由拋物線的定義可得點(diǎn)的軌跡是以F（1，0）為焦點(diǎn)，以x=-1為準(zhǔn)線的拋物線
拋物線的方程為：y²=4x
（2）過M作MF垂直于準(zhǔn)線l：x=-1．垂足為點(diǎn)P，由拋物線的定義可知MP=MF
所以MA+MF=MA+MF，過點(diǎn)A作垂足于準(zhǔn)線的直線與拋物線相交的點(diǎn)記為M時(shí)，
所求的線段和最小，此時(shí)MA+MF=4，M（1，2）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的定義的靈活應(yīng)用，解答（1）的關(guān)鍵是要轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到F（1，0）的距離與到直線x=-1的距離相等（2）的關(guān)鍵是要利用定義：拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與到焦點(diǎn)的距離相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化