Question

如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P—ABCD中，AB⊥AC,PA⊥平面ABCD，且PA=AB，點E是PD的中點.

(1)求證：AC⊥PB；

(2)求證：PB∥平面AEC;

(3)(理)求二面角EACB的大小.

(文)求二面角EACD的大小.

Answer 1

答案：(1)證明:∵PA⊥平面ABCD，∴AB是PB在平面ABCD上的射影.

又∵AB⊥AC，AC平面ABCD，∴AC⊥PB.

(2)證明:連結BD，與AC相交于O，連結OE.∵ABCD是平行四邊形，∴O是BD的中點.

又E是PD的中點,∴OE∥PB.

又PB平面AEC，OE平面AEC,∴PB∥平面AEC.

(3)(理)解法一：過E作EF⊥平面ABCD，垂足為F，∵PA⊥平面ABCD，∴F在AD上，且為AD的中點.連結OF，則OF∥AB.∵AB⊥AC,∴OF⊥AC.∴OE⊥AC.故∠EOF為二面角EACD的平面角.

在Rt△EOF中,EF=PA，OF=AB，∵PA=AB，∴EF=OF.∴∠EOF=.∴二面角EACB為3.

解法二：以A點為坐標原點，AC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，設AC=a,AB=b(圖略).

取BC中點G，連結OG，則=(0,,0),==(0,-,),=(a,0,0).

∵=(a,0,0)·(0,,0)=0, =(a,0,0)·(0,-,)=0，∴OG⊥AC，OE⊥AC.

∴∠EOG是二面角EACB的平面角.

∵cos∠EOG=cos〈〉=，∴∠EOG=.

∴二面角EACB的大小為.

(文)解法一：過E作EF⊥平面ABCD，垂足為F，∵PA⊥平面ABCD，

∴F在AD上，且為AD的中點.連結OF，則OF∥AB.∵AB⊥AC,∴OF⊥AC.∴OE⊥AC.故∠EOF為二面角EACD的平面角.

在Rt△EOF中,EF=PA，OF=AB.∵PA=AB，∴EF=OF.∴∠EOF=.∴二面角EACD的大小為.

解法二：以A點為坐標原點，AC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，設AC=a,AB=b(圖略).

取AD中點F，取AC中點O,連結OF，則=(0,-,0),==(0,-,),=(a,0,0).

∵=(a,0,0)·(0,-,0)=0,=(a,0,0)·(0,-,)=0.∴OE⊥AC，OF⊥AC.

∴∠EOF是二面角EACD的平面角.

∵cos∠EOF=cos〈〉=,∴∠EOF=.∴二面角EACD的大小為.