Question

第一行是等差數列0，1，2，3，…，2006，將其相鄰兩項的和依次寫下作為第二行，第二行相鄰兩項的和依次寫下作為第三行，依此類推，共寫出2007行．

（1）求證：第1行至第2006行各行都構成等差數列．（定義只有兩項的數列a₁，a₂也稱等差數列）；
（2）各行的公差組成數列{d_i}（i=1，2，3，…，2006）．求通項公式d_i；
（3）各行的第一個數組成數列{a_j}（j=1，2，3，…，2006），求通項公式a_j；
（4）求2007行的這個數．

Answer 1

解：（1）記a_i•j表示第i行第j列的項．由已知知第1行是等差數列；a_{2•（k+1）}-a_2•k=a_{1•（k+1）}+a_{1•（k+2）}-（a_1•k+a_{1•（k+1）}）=a_{1•（k+2）}-a_1•k=2，
所以第2行數列是等差數列．a_{3•（k+1）}-a_3•k=a_{2•（k+1）}+a_{2•（k+2）}-（a_2•k+a_{2•（k+1）}）=a_{2•（k+2）}-a_2•k=4，
所以第3行數列是等差數列．
同理可證，第4，5，…，都是等差數列．
（2）d_i+1=a_{（i+1）•（k+1）}-a_{（i+1）•k}=a_{i•（k+1）}+a_{i•（k+2）}-a_i•k-a_{i•（k+1）}=a_{i•（k+2）}-a_i•k=2d_i，
∴，則{d_i}是等差數列，d_i=d₁•2^i-1=2^i-1．
（3）a_j+1=a_j+a_j•2=a_j+a_j+d_j=2a_j+2^j-1，
∴．
∴數列是等差數列，，
所以．
（4）由（3）a_j=（j-1）•2^j-2可知a₂₀₀₇=2006•2²⁰⁰⁵．
分析：（1）記a_i•j表示第i行第j列的項．由已知知第1行是等差數列；推出第2行滿足a_{3•（k+1）}-a_3•k=4是等差數列，類比推出第1行至第2006行各行都構成等差數列；
（2）通過d_i+1=a_{（i+1）•（k+1）}-a_{（i+1）•k}=2d_i，即可求出通項公式d_i；
（3）利用a_j+1=a_j+a_j•2=a_j+a_j+d_j=2a_j+2^j-1，推出數列是等差數列，然后求通項公式a_j；
（4）利用（3）直接求2007行的這個數．
點評：本題是中檔題，考查數列的有關知識，證明數列是等差數列，數列的遞推關系式的應用，數列與函數的綜合應用，考查計算能力．