Question

15．若a，b∈R，且ab＞0，則下列不等式中，恒成立的是（　　）

• A． a²+b²＞2ab
• B． $a+b≥2\sqrt{ab}$
• C． $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$≥2
• D． $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}≥\frac{2}{{\sqrt{ab}}}$

Answer 1

分析 利用基本不等式的使用法則“一正二定三相等”即可判斷出結論．

解答 解：A．∵（a-b）²≥0，∴a²+b²≥2ab，當且僅當a=b時等號成立，因此不正確．
B．取a，b＜0時，a+b≥2$\sqrt{ab}$不成立．
C．∵ab＞0，∴$\frac{a}{b}$，$\frac{b}{a}$＞0，∴$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$≥2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=2，當且僅當a=b時取等號，正確．
D．取a，b＜0時，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥$\frac{2}{\sqrt{ab}}$不成立．
故選：C．

點評 本題考查了基本不等式的使用法則“一正二定三相等”，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．