Question

定義：如果函數y=f（x）在定義域內給定區間[a，b]上存在x₀（a＜x₀＜b），滿足f(x0)=

f(b)-f(a)

b-a

，則稱函數y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數”，x₀是它的一個均值點．如y=x⁴是[-1，1]上的平均值函數，0就是它的均值點．現有函數f（x）=-x²+mx+1是區間[-1，1]上的平均值函數，則實數m的取值范圍是______．

Answer 1

）∵函數f（x）=-x²+mx+1是區間[-1，1]上的平均值函數，
∴關于x的方程-x²+mx+1=

f(1)-f(-1)

1-(-1)

在（-1，1）內有實數根．
由-x²+mx+1=

f(1)-f(-1)

1-(-1)

?x²-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1．
又1∉（-1，1）
∴x=m-1必為均值點，即-1＜m-1＜1?0＜m＜2．
∴所求實數m的取值范圍是0＜m＜2．
故答案為：0＜m＜2．