Question

已知點M是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的一點，過M作斜率分別為k₁，k₂的直線，交橢圓于A，B兩點，且A，B關于原點對稱，則k1•k2=-

b2

a2

．類比橢圓的這個性質，設M是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上的一點，過M作斜率分別為k₁，k₂的直線，交雙曲線于A，B兩點，且A，B關于原點對稱，則k₁•k₂=

b2

a2

．

Answer 1

分析：首先點M半短軸上的頂點，則M作斜率分別為k₁，k₂的直線，交橢圓于A，B兩點，且A，B關于原點對稱，設A和B兩點坐標為（a，0），（-a，0），于是可得k1•k2=-

b2

a2

，類比橢圓性質類推雙曲線的性質，設點M實軸上頂點（a，0），則M作斜率分別為k₁，k₂的直線，交橢圓于A，B兩點，且A，B關于原點對稱，設A和B兩點坐標為為（x，y），（-x，-y），即可求出即k₁=

y

x+a

，k₂=

y

x-a

，結合雙曲線方程化簡即可得到k₁•k₂的值．

解答：解：設點M半短軸上的頂點，則M作斜率分別為k₁，k₂的直線，交橢圓于A，B兩點，且A，B關于原點對稱，
設A和B兩點坐標為（a，0），（-a，0），即k₁=

b

a

，k₂=-

b

a

，k1•k2=-

b2

a2

，
類比橢圓性質類推雙曲線的性質，
設點M實軸上頂點（a，0），則M作斜率分別為k₁，k₂的直線，交橢圓于A，B兩點，且A，B關于原點對稱，
設A和B兩點坐標為為（x，y），（-x，-y），
即k₁=x+a，k₂=

y

x-a

，k₁•k₂=

y

x+a

•

y

x-a

=

y2

x2-a2

，
結合

x2

a2

-

y2

b2

=1化簡可得k₁•k₂=

b2

a2

，
故答案為

b2

a2

．

點評：本題主要考查了類比推理的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握橢圓和雙曲線的性質和定義，由橢圓的性質類比推出雙曲線的性質，此題難度不大．