Question

已知點(diǎn)P（0，5）及圓C：x²+y²+4x-12y+24=0，若直線l過點(diǎn)P且被圓C截得的線段長(zhǎng)為4

3

，求l的方程．

Answer 1

分析：將圓V方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心C坐標(biāo)與半徑r，根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，取AB的中點(diǎn)為D，連接CD，可得出CD垂直于AB，得出|AD|與|AC|的長(zhǎng)，利用勾股定理求出|CD|的長(zhǎng)，然后分兩種情況考慮：（i）直線l斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，表示出l方程，由C到l的距離為2，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出k的值，確定出此時(shí)l的方程；（ii）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線x=0滿足題意，綜上，得到所求的直線方程．

解答：解：將圓C方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x+2）²+（y-6）²=16，
∴圓心C坐標(biāo)為（-2，6），半徑r=4，
如圖所示，|AB|=4

3

，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，可得CD⊥AB，連接AC、BC，
∴|AD|=

1

2

|AB|=2

3

，|AC|=4，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：|CD|=2，
分兩種情況考慮：
（i）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線的斜率為k，
則直線的方程為y-5=kx，即kx-y+5=0，
由點(diǎn)C到直線AB的距離公式，得

|-2k-6+5|

k2+(-1)2

=2，
解得：k=

3

4

，
當(dāng)k=

3

4

時(shí)，直線l的方程為3x-4y+20=0；
（ii）直線l的斜率不存在時(shí)，也滿足題意，此時(shí)方程為x=0，
綜上，所求直線的方程為3x-4y+20=0或x=0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：垂徑定理，勾股定理，點(diǎn)到直線的距離公式，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．