Question

設(shè){a_n}是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列（d≠0），S_n是其前n項(xiàng)和．
（Ⅰ） 若a₂•a₉=130，a₄+a₇=31，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ） 記bn=

Sn

n

，n∈N^*，且b₁，b₂，b₄成等比數(shù)列，證明：Snk=n2Sk（k，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a₂+a₉=a₄+a₇=31，知a₂，a₉是方程x²-31x+130=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，解出方程，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n；
（Ⅱ）表示出S_n，b_n，由b₁，b₂，b₄成等比數(shù)列，得a，d的關(guān)系式，從而可化簡(jiǎn)S_n，代入等式左右兩邊驗(yàn)證即可；

解答：（Ⅰ）解：∵{a_n}是等差數(shù)列，由性質(zhì)知a₂+a₉=a₄+a₇=31，
∴a₂，a₉是方程x²-31x+130=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，解得x₁=5，x₂=26，
當(dāng)a₂=5，a₉=26時(shí)，d=3，a_n=3n-1；當(dāng)a₂=26，a₉=5時(shí)，d=-3，a_n=-3n+32；
∴a_n=3n-1或a_n=-3n+32；
（Ⅱ）證明：由題意知Sn=na+

n(n-1)

2

d，
∴bn=

Sn

n

=a+

n-1

2

d，
∵b₁，b₂，b₄成等比數(shù)列，∴b22=b1b4，
∴(a+

1

2

d)2=a(a+

3

2

d)，∴

1

2

ad-

1

4

d2=0，
∴

1

2

d(a-

1

2

d)=0，
∵d≠0，∴a=

1

2

d，∴d=2a，
∴Sn=na+

n(n-1)

2

d=na+

n(n-1)

2

2a=n2a，
∴左邊=Snk=(nk)2a=n2k2a，右邊=n2Sk=n2k2a，∴左邊=右邊，
∴Snk=n2Sk（k，n∈N^*）成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，解答此題的關(guān)鍵是理解并掌握非常數(shù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，此題是中檔題．