Question

給出下列命題：
（1）已知可導函數(shù)f（x），x∈D，則函數(shù)f（x）在點x₀處取得極值的充分不必要條件是f′（x₀）=0，x₀∈D．
（2）已知命題P：?x∈R，sinx≤1，則￢p：?x∈R，sinx＞1．
（3）已知命題p：

1

x 2-3x+2

＞0，則￢p：

1

x 2-3x+2

≤0．
（4）給定兩個命題P：對任意實數(shù)x都有ax²+ax+1＞0恒成立；Q：關于x的方程x²-x+a=0有實數(shù)根．如果P∧Q為假命題，P∨Q為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是(-∞，0)∪(

1

4

，4)．
其中所有真命題的編號是

（2），（4）

．

Answer 1

分析：根據函數(shù)零點與導數(shù)值為0對應的數(shù)之間的關系，結合充要條件的定義，可判斷（1）；利用全稱命題的否定方法，可判斷（2）（3）根據類二次不等式恒成立的條件及二次方程根的個數(shù)與△的關系，結合復合命題真假判斷的真值表，可判斷（4）

解答：解：函數(shù)f（x）在點x₀處取得極值則f′（x₀）=0，
但f′（x₀）=0時，函數(shù)f（x）在點x₀處取得極值不恒成立，
故函數(shù)f（x）在點x₀處取得極值的必要不充分條件是f′（x₀）=0，x₀∈D．故（1）為假命題；
命題P：?x∈R，sinx≤1，則￢p：?x∈R，sinx＞1，故（2）為真命題；
命題p：

1

x 2-3x+2

＞0，則￢p：

1

x 2-3x+2

≤0或

1

x 2-3x+2

無意義，故（3）為假命題；
若命題P：“對任意實數(shù)x都有ax²+ax+1＞0恒成立”為真，則0≤a＜4；
若命題Q：關于x的方程x²-x+a=0有實數(shù)根，則△=1-4a≥0，即a≤

1

4

．
如果P∧Q為假命題，P∨Q為真命題，則P和Q一真一假
若P真Q假，則

1

4

＜a＜4，若P假Q真，則a＜0
則實數(shù)a的取值范圍是(-∞，0)∪(

1

4

，4)．
故所有真命題的編號為：（2），（4）．
故答案為：（2），（4）

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)的極值，全稱命題，命題的否定，復合命題的真假判斷，難度中檔．