Question

已知函數f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數，x∈[0，2）時，f（x）=x²，若對于任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），則f（2）-f（3）的值為

 

．

Answer 1

分析：由題意可得，f（x+2）=-f（2-x），故f（2）=0，故要求的式子為-f（-1+4）=-f（-1）=f（1），再根據x∈[0，2）時，f（x）=x²，求得結果．

解答：解：∵f（x+4）=f（x），∴f（x+2）=f（x-2）．
再根據函數f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數，可得 f（x+2）=-f（2-x），
∴f（2）=-f（2），∴f（2）=0．
∴f（2）-f（3）=0-f（-1+4）=-f（-1）=f（1），
再根據x∈[0，2）時，f（x）=x²，可得得f（1）=1．
故答案為：1．

點評：本題主要考查利用函數的奇偶性和周期性求函數的值，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．