Question

【題目】在直角坐標系中，橢圓經過點，右焦點到右準線和左頂點的距離相等，經過點的直線交橢圓于點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）點是直線上在橢圓外的一點，且，證明：點在定直線上.

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】

(1)根據點在橢圓上以及右焦點到右準線和左頂點的距離相等列方程組可解得;

(2)當直線軸時,將用表示后,代入不成立, 當直線與軸不垂直時,設出直線的方程,與橢圓方程聯立,利用韋達定理以及，，,代入可解得.

（1）依題意可列方程組: ,所以,

所以,所以,又,所以,解得,

所以橢圓的標準方程為：.

(2)證明:設,

當直線軸，則,，則，

因為在橢圓外,所以與同號,所以,所以,

又，所以不成立，故直線與軸不垂直.

當直線與軸不垂直時，設，

設直線的方程為，與橢圓聯立消去并整理得，

，

因為，

所以，

所以，

同理可得:，.

因為點在橢圓外，所以、同號，

所以

，

由得，

，

所以,

所以,所以,

所以，所以點在定直線上.