Question

如圖所示，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=AD=，G為EF的中點(diǎn)，

(1)求證：平面AGC⊥平面BGC；

(2)求GB與平面AGC所成角的正弦值；

(3)求二面角B―AC―G的大小．

Answer 1

解：(1)正方形ABCDCB⊥AB．∵面ABCD⊥面ABEF，且交于AB．∴CB⊥面ABEF．

    ∵AG、GB面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG．

    又AD=2，AF=，四邊形ABEF是矩形，G是EF的中點(diǎn)，

    ∴AG=BG=，AB=2，AB²=AG²+BG²，

    ∴AG⊥BG．

    ∵CGBG=G，∴AG⊥平面CBG，

    ∵AG平面AGC，故平面AGC⊥平面BGC．

(2)如圖所示，由(1)知面AGC⊥平面BGC，且交于GC，在平面BGC內(nèi)作BH⊥GC，

垂足為H，則BH⊥平面AGC，

    ∴∠BGH是GB與平面AGC所成的角，

∴Rt△CBG中。

BH=

又BG=．∴sin∠BGH=．

(3)由(2)知，BH⊥面AGC，作BO⊥AC，垂足為O，則HO⊥AC，

∴∠BOH為二面角B―AC―G的平面角。

在Rt △ABC中，BO=，在Rt△BOH中，sin∠BOH=，

∠BOH=arcsin，即二面角B―AG―G的大小為arcsin