Question

已知直線l過拋物線y²=4x的焦點F，交拋物線于A、B兩點，且點A、B到y軸的距離分別為m、n，則m+n+2的最小值為（　　）

• A、4

  2

• B、6

  2

• C、4
• D、6

Answer 1

分析：利用拋物線的定義，求m+n+2的最小值，即求|AB|的最小值．①當AB與x軸垂直時，|AB|=2p；②當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=k（x-1）（k≠0），與拋物線方程聯立消去y得到關于x的一元二次方程，利用弦長公式|AB|=x₁+x₂+2p，即可得到其最小值．

解答：解：由拋物線y²=4x可得：焦點F（1，0）．
∵直線l過拋物線y²=4x的焦點F，交拋物線于A、B兩點，且點A、B到y軸的距離分別為m、n，
∴m=|AF|-1，n=|BF|-1，
∴m+n=|AF|+|BF|-2=|AB|-2，
∴m+n+2=|AB|．
求m+n+2的最小值，即求|AB|的最小值．
①當AB與x軸垂直時，|AB|=2p=4；
②當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=k（x-1）（k≠0），代入拋物線方程，
消去y得到k²x²-（4+2k²）x+k²=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
∴x1+x2=

4+2k2

k2

．
∴|AB|=

4

k2

+2+2p=6+

4

k2

＞6．
綜上①②可知：|AB|的最小值是4．
∴m+n+2的最小值為4．
故選C．

點評：本題考查拋物線的定義，考查拋物線的焦點弦長問題、分類討論思想方法等基礎知識與基本技能，考查了推理能力、計算能力．