Question

設函數f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a．
（Ⅰ）當a=0時，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在實數m，使函數f（x）和函數h（x）在公共定義域上具有相同的單調性？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的單調性

專題：

分析：（Ⅰ）通過A=0，f（x）≥h（x），化簡為m≤

x

lnx

，構造φ（x）=

x

lnx

，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立等價于m≤φ（x）_min．通過新函數的導數求解新函數的最值即可．
（Ⅱ）存在m=

1

2

，使得函數f（x）和函數h（x）在公共定義域上具有相同的單調性．
求出f′（x）_min，請查收的定義域，通過m≤0，m＞0，分別求出函數的導數，判斷函數的單調性，求出函數的最值，然后判斷即可．

解答： 解：（Ⅰ）由A=0，f（x）≥h（x）可得m≤

x

lnx

，
記φ（x）=

x

lnx

，則f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立等價于m≤φ（x）_min．
求得φ′（x）=

lnx-1

ln2x

 
當x∈（1，e）時；φ′（x）＜0；
當x∈（e，+∞）時；φ′（x）＞0．
故φ（x）在x=e處取得極小值，也是最小值，
即φ（x）_min=φ（e）=e，故m≤e．---------（7分）
（Ⅱ）存在m=

1

2

，使得函數f（x）和函數h（x）在公共定義域上具有相同的單調性
f′（x）_min=2x-

m

x

=

2x2-m

x

，函數f（x）的定義域為（0，+∞）．
若m≤0，則f′（x）≥0，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，不合題意；
若m＞0，由f′（x）＞0可得2x²-m＞0，解得x＞

m 2

或x＜-

m 2

（舍去）
故m＞0時，函數的單調遞增區間為（

m 2

，+∞）單調遞減區間為（0，

m 2

）
而h（x）在（0，+∞）上的單調遞減區間是（0，

1

2

），單調遞增區間是（

1

2

，+∞）
故只需

m 2

=

1

2

，解之得m=

1

2

即當m=

1

2

時，函數f（x）和函數h（x）在其公共定義域上具有相同的單調性．┉（14分）

點評：本題考查函數的導數的應用，函數的最值以及函數的單調性的判斷，構造函數是解題的關鍵，考查分析問題解決問題的能力．