Question

函數y=f（x），x∈[-5，5]的圖象如圖所示，該曲線在原點處的切線的方程為y=x，且導函數f′（x）是減函數．給出下列四個命題：
①A，B是該圖象上的任意兩點，那么直線AB的斜率k_AB∈（0，1）；
②點P是該圖象在第一象限內的部分上的點，那么直線OP的斜率k_OP∈（0，1）；
③對于?x₁，x₂∈[-5，5]，f（x₁）+f（x₂）≤2f（）恒成立；
④對于?x∈[-5，5]，f（x）≤x．
其中所有真命題的序號是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ②③④
3. C.
   ②④
4. D.
   ①③

Answer 1

B
分析：對于①A，B是該圖象上的任意兩點，直線AB的斜率可以用AB中點對應的橫坐標對應到圖象上點的切線斜率近似代替，根據函數的導數是一個減函數，知當x＜0時f′（x）＞f′（0）=1，故①不正確；再結合選項，說明應在B、C當中選一個，問題的焦點集中到③這個命題是否正確了．利用函數圖象的凹凸性不難發現命題③是正確的，這樣就可以選到正確答案了．
解答：先看命題①：若A，B是該圖象上的任意兩點，直線AB的斜率可以用AB中點對應的橫坐標對應到圖象上點的切線斜率近似代替，
由已知條件曲線在原點處的切線的方程為y=x，說明f′（0）=1，再根據函數的導數是一個減函數知
當x＜0時f′（x）＞f′（0）=1，說明存在-5＜x＜0時直線AB的斜率k_AB＞1，故①不正確；
再結合選項：只有B、C當中沒有認為①正確，說明應在B、C當中選一個，
問題的焦點集中到③這個命題是否正確了．
利用函數圖象的凹凸性：函數f（x）是一個凸函數，說明滿足不等式：
對照一下命題③，說明命題③是正確的，因此可得正確答案為②③④．
故選B
點評：本題考查了利用導數研究函數的圖象、函數圖象的凹凸性和函數恒成立等問題，綜合性較強，是一道難題．此問題還著重考查學生觀察圖形，分析問題和解決問題的能力，不失為一道優良的考題．