Question

已知函數y=x+有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在（0，］上是減函數，在［,+∞）上是增函數.

(1)如果函數y=x+在(0,4］上是減函數,在［4，+∞)上是增函數，求實常數b的值；

（2）設常數c∈［1,4］,求函數f(x)=x+,x∈［1,2］的最大值和最小值；

（3）當n是正整數時，研究函數g(x)=xⁿ+(c＞0)的單調性，并說明理由.

Answer 1

分析:本題設計新穎，層層遞進，是演繹推理的典型應用，要正確理解題意.根據已有的事實和正確的結論，按照嚴格的邏輯法進行證明、推理，尋找題目中的大前提和小前提.

解：（1）由函數y=x+的性質，知y=x+在［0，］上是減函數，在［,+∞）上是增函數.∴2^b=4,即2^b=16=2⁴.∴b=4.

(2)∵c∈［1,4］,∴∈［1,2］.

又∵ f(x)=x+在（0，］上是減函數，在［,+∞)上是增函數.∴在x∈［1,2］上，當x=時，函數取得最小值2.又f(1)=1+c,f(2)=2+,f(2)-f(1)=1-.

當c∈［1,2)時，f(2)-f(1)＞0,f(2)＞f(1).

此時f(x)的最大值為f(2)=2+.

當c=2時,f(2)-f(1)=0,f(2)=f(1).

此時f(x)的最大值為f(2)=f(1)=3.

當c∈(2,4］時，f(2)-f(1)＜0,f(2)＜f(1).此時f(x)的最大值為f(1)=1+c.

(3)g′(x)=nx^n-1-,令g′(x)=0,得x²ⁿ=c，∴x=±

又∵x≠0,列表分析，如下：

x	（0，)		(,+∞)
f′(x)	-	0	+
f(x)		極小值

 

于是函數g(x)在（0，）上是減函數，在［,+∞)上是增函數.

當n是正奇數時，g(x)=xⁿ+,在（-∞,0）∪(0,+∞)上是奇函數，于是g(x）在（-∞,-］上是增函數，在［-,0］上是減函數；

當n是正偶數時，g(x)=xⁿ+在（-∞,0）∪(0,+∞)上是偶函數，于是g(x)在（-∞,-］上是減函數，在［-,0］上是增函數.