Question

已知實數m為非零常數，且f（x）=（a＞0且a≠1）為奇函數．
（1）求m的值；
（2）判斷f（x）在區間（1，+∞）上的單調性，并用單調性定義加以證明；
（3）當x∈（b，a）時，函數f（x）的值域為（1，+∞），請確定實數a與b的取值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數f（x）=（a＞0且a≠1）為奇函數，根據奇函數的定義可得f（-x）+f（x）=0，進而求出非零m的值；
（2）x₁，x₂是區間（1，+∞）上的任意兩個值，且x₁＜x₂，可得＞1，分當0＜a＜1時和當a＞1時兩種情況，結合復合函數的單調性，可證明函數的單調性；
（3）由函數解析式求出函數的定義域，結合（2）中函數的單調性，進而根據當x∈（b，a）時，函數f（x）的值域為（1，+∞），可得f（a）=1且，解方程可求出a，b的值．
解答：解：（1）若函數f（x）=（a＞0且a≠1）為奇函數
故f（-x）+f（x）=+===0
即，即（m-1）²=1
∵m≠0，
∴m=2
（2）由（1）得f（x）==，
當0＜a＜1時，函數在區間（1，+∞）上為增函數
當a＞1時，函數在區間（1，+∞）上為減函數，理由如下：
令x₁，x₂是區間（1，+∞）上的任意兩個值，且x₁＜x₂，
則x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂+1＞0，＞1
則f（x₁）-f（x₂）=-==
當0＜a＜1時，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），函數在區間（1，+∞）上為增函數
當a＞1時，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），函數在區間（1，+∞）上為減函數
（3）由（1）得f（x）=的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），
當0＜a＜1時，（b，a）?（-∞，-1）∪（1，+∞），此時函數的解析式無意義；
當a＞1，若函數的解析式有意義，則1≤b＜a，
由（2）可得，此時函數在（b，a）上為減函數
若函數f（x）的值域為（1，+∞）
則f（a）=1，
即=1
即
解得a=1+
且
解得b=1
綜上，a=1+，b=1
點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性，函數的單調性，函數的值域，熟練掌握函數奇偶性和函數單調性的定義是解答的關鍵．