Question

已知橢圓的離心率為，且其焦點F（c，0）（c＞0）到相應準線l的距離為3，過焦點F的直線與橢圓交于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設M為橢圓的右頂點，則直線AM，BM與準線l分別交于P，Q兩點（P，Q兩點不重合），求證：=0．．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意有解得a=2，c=1
從而b==
∴橢圓的標準方程為=1
（Ⅱ）①若直線AB與x軸垂直，則直線AB的方程是x=1
∵該橢圓的準線方程為x=4，
∴P（4，3），Q（4，3），∴=（3，-3），=（3，3）
∴=0
∴當直線AB與X軸垂直時，命題成立．
②若直線AB與X軸不垂直，則設直線AB的斜率為k，
∴直線AB的方程為y=k（x-1），k≠0
又設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）
聯立消y得，根據韋達定理可知
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
∴y₁y₂=k2（x₁-1）（x₂-1）=
又∵A、M、P三點共線，∴y₃=
同理y₄=
∴=（3，），=（3，）
∴•=9+=0
綜上所述：•=0
分析：（Ⅰ）先根據題意通過離心率和焦點到準線的距離聯立方程求得a和c，則b可得，進而求得橢圓的方程．
（Ⅱ）先看直線AB與x軸垂直時，把x=1代入橢圓方程求得P，Q的坐標，則和可求，進而求得•=0；再看若直線AB與X軸不垂直，設出直線方程與橢圓方程聯立消去y，根據韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達式，進而根據直線方程求得y₁y₂的表達式，進而根據三點共線，斜率相等求得y₃和y₄的表達式，表示出和，進而求得•=0．
點評：本題主要考查了直線與橢圓的關系問題．解決直線與圓錐曲線的關系時，注意討論直線的斜率不存在的情況．