Question

已知點A、B的坐標分別是（0，-1）、（0，1），直線AM、BM相交于點M，且它們的斜率之積為-

1

2

．
（1）求點M軌跡C的方程；
（2）若過點D（0，2）的直線l與（1）中的軌跡C交于不同的兩點E、F，試求△OEF面積的取值范圍（O為坐標原點）．

Answer 1

分析：（1）設出點M的坐標，寫出直線AM、BM的斜率，由斜率之積為-

1

2

列式求M得軌跡方程；
（2）設出直線l的方程，和橢圓方程聯立后化為關于x的一元二次方程，利用根與系數關系寫出兩交點橫坐標的和與積，把△OEF的面積轉化為△OED與△OEF的面積的差，然后代入根與系數關系，換元后利用基本不等式求最值．

解答：解：（1）設點M的坐標為（x，y），
∵kAM•kBM=-

1

2

，∴

y+1

x

•

y-1

x

=-

1

2

．
整理得，

x2

2

+y2=1(x≠0)；
（2）由題意知直線l的斜率存在，設l的方程為y=kx+2．
聯立

y=kx+2 x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²+8kx+6=0．
由△=64k²-4×6（2k²+1）＞0，解得k2＞

3

2

．
設E（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

-8k2

2k2+1

，x1x2=

6

2k2+1

．
S_△OEF=S_△OED-S_△OFD=

1

2

OD|x1|-

1

2

OD|x2|=

1

2

OD|x1-x2|=

1

2

×2|x1-x2|=|x1-x2|
=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( -8k2 2k2+1 )2-4• 6 2k2+1

=

16k2-24 (2k2+1)2

=

16(k2- 3 2 ) (2k2+1)2

．
令k2-

3

2

=t(t＞0)，所以k2=t+

3

2

(t＞0)．
則S△OEF=

16t (2t+4)2

=

4t (t+2)2

=2

t t2+4t+4

=2

1 t+ 4 t +4

≤2

1 4+4

=

2

2

．
所以S△OEF∈(0，

2

2

]．

點評：本題考查了與直線有關的動點的軌跡方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了數學轉化思想方法，訓練了利用基本不等式求最值，利用根與系數關系解題是該類問題常用的方法，此題有一定難度．