Question

已知函數f（x）=ax²+bx（a＜0），對于數列{a_n}，設它的前n項的和為S_n，且S_n=f（n）（n∈N^*）．
（1）證明數列{a_n}是遞減的等差數列；
（2）證明所有的點M_k（k，

Sk

k

）（k∈N^*）在同一直線l₁上．

Answer 1

分析：（1）由“f（x）=ax²+bx（a＜0），S_n=f（n）”，可得到S_n=f（n）=an²+bn，再由通項和前n項和間的關系求得其通項公式，再判斷是否為遞減的等差數列．
（2）由（1）可得S_k=ak²+bk，從而有

sk

k

=ak+b可知點M_k（k，

Sk

k

）（k∈N^*）在同一直線y=ax+b上．

解答：解：（1）根據題意：S_n=f（n）=an²+bn（a＜0），
當n=1時，S₁=a+b（a＜0），
當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=2an-a+b
綜上：a_n=2an-a+b
又∵a＜0
∴數列{a_n}是遞減的等差數列
（2）∵S_k=ak²+bk
∴

sk

k

=ak+b
∴點M_k（k，

Sk

k

）（k∈N^*）在同一直線y=ax+b上；

點評：本題主要考查函數與數列的綜合運用，主要涉及了數列的定義，通項，前n項和及其關系，還考查了等差數列的幾何意義，所有項在同一條直線上．