Question

已知函數f（x）=ln-ax²+x（a＞0），  
（1）若f（x）是定義域上的單調函數，求a的取值范圍；  
（2）若f（x）在定義域上有兩個極值點x₁、x₂，證明：f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2。

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）=-lnx-ax²+x，
f′（x）=，
令△=1-8a，
當a時，△≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）單調遞減；
當0＜a＜時，△＞0，方程2ax²-x+1=0有兩個不相等的正根x₁，x₂，
不妨設x₁＜x₂，則當x∈（0，x₁）∪（x₂，+∞）時，f′（x）＜0，
當x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＞0，這時f（x）不是單調函數；
綜上，a的取值范圍是[，+∞）。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當且僅當a∈（0，）時，f（x）有極小值點x₁和極大值點x₂，
且x₁+x₂=，x₁x₂=，


，
令g（a）=ln（2a）++1，a∈（0，]，
則當a∈（0，）時，g′（a）=，
g（a）在（0，）單調遞減，所以g（a）＞g（）=3-2ln2，
即f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2。