Question

已知函數f(x)是奇函數，且滿足2f(x+2)+f(-x)=0，當x∈(0，2)時，f(x)=lnx+ax(a＜)，當x∈(-4，-2)時，f(x)的最大值為-4．
(Ⅰ)求實數a的值；
(Ⅱ)設b≠0，函數，x∈(1，2)，若對任意的x₁∈(1，2)，總存在x₂∈(1，2)，使f(x₁)-g(x₂)=0，求實數b的取值范圍．

Answer 1

解：(Ⅰ)由已知，得2f(x+2)=-f(-x)，
∵f(x)是奇函數，
∴f（x）=-f（-x），
∴2f（x+2）=f(x)，
∴f(x)=2f(x+2)=4f(x+4)，
∵x∈(0，2)時，f(x)=1nx+ax，設x∈（-4，-2），則x+4∈(0，2)，
∴f(x+4)=ln(x+4)+a(x+4)，
∴x∈(-4，-2)時，f(x)=4f(x+4)=4ln(x+4)+4a(x+4)，
所以，，
∵x∈(-4，-2)，∴-4ax＜4+16a，
∵，∴，
又由，可得，
∴f(x)在上是增函數，在上是減函數，
∴，
∴ a=-l。
(Ⅱ)設f(x)的值域為A，g(x)的值域為B，則由已知，對于任意的，總存在，
使得得，
由(Ⅰ)知，a=-1，
當x∈(1，2)時，，
∵x∈(1，2)，
∴f'(x)＜0，f(x)在x∈(1，2)上單調遞減函數，
∴f(x)的值域為A=(ln2-2，-1)，
∵g'(x)=bx²-b=b(x-1)(x+1)，
∴(1)當b＜0時，g(x)在(1，2)上是減函數，
此時，g(x)的值域為，
為滿足，又，∴，即。
(2)當b＞0時，g(x)在（1，2）上是遞增函數，
此時g(x)的值域為，
為滿足，又，則，
∴。
綜上可知，b的取值范圍是。