Question

已知定義在[0，+∞）上的函數f（x）滿足f（x）=3f（x+2），當x∈[0，2）時，f（x）=-x²+2x，設f（x）在[2n-2，2n）上的最大值為a_n（n∈N⁺）且{a_n}的前n項和為S_n，則

lim

n→∞

Sn=（　�。�

• A、3
• B、

  5

  2

• C、2
• D、

  3

  2

Answer 1

分析：由題意可知，函數f（x）按照2單位向右平移，只是改變函數的最大值，求出a₁，公比，推出a_n，然后求出S_n，即可求出極限．

解答：解：因為f（x）=3f（x+2），所以f（x+2）=

1

3

f（x），就是函數向右平移2個單位，最大值變為原來的

1

3

，a₁=f（1）=1，q=

1

3

，
所以a_n=(

1

3

)n-1，S_n=

1-( 1 3 )n

1- 1 3

，

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

1-( 1 3 )n

1- 1 3

=

3

2

故選D

點評：本題是中檔題，考查函數與數列以及數列的極限的交匯題目，注意函數的圖象的平移，改變的是函數的最大值，就是數列的公比，考查計算能力，發現問題解決問題的能力．