Question

已知函數(shù)f（x）=a+bsinx+ccosx（其中b＞0）的圖象經過點A（0，1）、B（

π

2

，1）．當x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為2

2

-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）由y=sinx的圖象經過怎樣的變換可得到f（x）的圖象．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數(shù)圖象過A和B兩點，把A和B兩點代入函數(shù)解析式中，得到兩個方程，兩方程相減可得b=c，把函數(shù)解析式中的c化為b，后兩項提取

2

，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據x的范圍，利用正弦函數(shù)的值域表示出函數(shù)的最大值，與已知的最大值相等列出關于a與b的方程，與前面得到關系式a+b=1聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解得到a與b的值，代入可確定出函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）分三步平移，（i）先由y=sinx圖象上所有點向左平移

π

4

個單位；（ii）由第一步平移后函數(shù)圖象上所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">2

2

倍；（iii）最后再由第二步平移后函數(shù)的圖象上所有點向下平移一個單位，可得出函數(shù)f（x）的圖象．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)圖象過點A（0，1）、B（

π

2

，1），
把兩點坐標代入函數(shù)解析式得：

a+c=1① a+b=1②

，
①-②得：c-b=0，即b=c，
∴f(x)=a+bsinx+bcosx=a+

2

bsin(x+

π

4

)(b＞0)，
∵當x∈[0，

π

2

]時，f(x)的最大值為2

2

-1，
∴

2

b+a=2

2

-1③，
聯(lián)立②③，解得：

a=-1 b=2

，
則f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)-1；
（Ⅱ）分三步平移：
（i）由y=sinx圖象上所有點向左平移

π

4

個單位得到f(x)=sin(x+

π

4

)的圖象；
（ii）由f(x)=sin(x+

π

4

)的圖象上所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">2

2

倍，得到f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)的圖象；
（iii）由f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)的圖象上所有點向下平移一個單位，得到f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)-1的圖象．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值，以及三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律，熟練掌握公式是解本題的關鍵．