Question

已知橢圓的離心率為，且經過點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l：y=kx+t（k≠0）交橢圓C于A、B兩點，D為AB的中點，k_OD為直線OD的斜率，求證：k•k_OD為定值；
（3）在（2）條件下，當t=1時，若的夾角為銳角，試求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據離心率求得n和m的關系式，同時把點P代入橢圓方程求得n和m的另一關系式，聯立求得n和m，則橢圓的方程可得．
（2）把直線與橢圓方程聯立消去y，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而表示出AB中點的坐標，最后分別表示出兩條直線的斜率，求得k•k_OD為定值
（3）把t=1代入（2）中的方程，根據x₁+x₂和x₁x₂的表達式，求得x₁x₂+y₁y₂的表達式，若的夾角為銳角，則有進而求得k的范圍．
解答：解：（1）根據題意有：
解得：
∴橢圓C的方程為=1
（2）聯立方程組
消去y得：（4+k²）x²+2kx+t²-4=0①
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點坐標為（x，y）
則有：
∴，故為定值
（3）當t=1時，①式為（4+k²）x²+2kx-3=0
故
∴y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
∴
若的夾角為銳角，則有，
即，解得，且k≠0，
∴當k∈時，的夾角為銳角
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力．