Question

以下是正弦函數(shù)的定義：
在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)α的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，y），它與原點(diǎn)的距離是r （r＞0），比值

y

r

叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=

y

r

；
請(qǐng)使用此定義，證明：（1）正弦函數(shù)的值域?yàn)閇-1，1]；（2）函數(shù)f（α）=sinα是奇函數(shù)．

Answer 1

（1）當(dāng)α的終邊沒有落在坐標(biāo)軸上時(shí)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)斜邊大于直角邊，即r＞|y|，
所以|

y

r

|＜1，并且|

y

r

|≠0，
當(dāng)α的終邊落在x軸上時(shí)，y=0，此時(shí)|

y

r

|=0，
當(dāng)α的終邊落在y軸上時(shí)，|y|=r，此時(shí)|

y

r

|=1，
所以|

y

r

|≤1，即正弦函數(shù)的值域?yàn)閇-1，1]．
（2）由題意可得：函數(shù)f（α）=sinα的定義域?yàn)椋篟，
又因?yàn)閒（-α）=

-y

r

=-sinα=-f（α），即f（-α）=-f（α），
所以函數(shù)f（α）=sinα是奇函數(shù)．